Gaussian Moving Average Code

Gaussian Smoothing Nombres comunes: Suavizado gaussiano Breve descripción El operador de suavizado gaussiano es un operador de convolución de 2-D que se utiliza para desenfocar imágenes y eliminar detalles y ruido. En este sentido, es similar al filtro medio. Pero utiliza un kernel diferente que representa la forma de una joroba gaussiana (en forma de campana). Este kernel tiene algunas propiedades especiales que se detallan a continuación. Cómo funciona La distribución gaussiana en 1-D tiene la forma: donde es la desviación estándar de la distribución. También hemos asumido que la distribución tiene una media de cero (es decir, está centrada en la línea x 0). La distribución se ilustra en la Figura 1. Figura 1 Distribución Gaussiana 1-D con media 0 y 1 En 2-D, un Gaussiano isotrópico (es decir, circularmente simétrico) tiene la forma: Esta distribución se muestra en la Figura 2. Figura 2 2-D Distribución gaussiana con media (0,0) y 1 La idea de suavizado gaussiano es utilizar esta distribución 2-D como una función de propagación de puntos, y esto se logra mediante convolución. Dado que la imagen se almacena como una colección de píxeles discretos, necesitamos producir una aproximación discreta a la función gaussiana antes de poder realizar la convolución. En teoría, la distribución gaussiana no es cero en todas partes, lo que requeriría un núcleo de convolución infinitamente grande, pero en la práctica es efectivamente cero más que unas tres desviaciones estándar respecto a la media, por lo que podemos truncar el núcleo en este punto. La Figura 3 muestra un núcleo de convolución de valor entero adecuado que se aproxima a un Gaussiano con un valor de 1,0. No es obvio cómo escoger los valores de la máscara para aproximarse a un Gaussiano. Uno podría utilizar el valor de Gaussian en el centro de un pixel en la máscara, pero esto no es exacto porque el valor del Gaussian varía no linealmente a través del pixel. Se integró el valor del gaussiano sobre el píxel completo (sumando el gaussiano a 0,001 incrementos). Las integrales no son números enteros: hemos reescalado la matriz de modo que las esquinas tuvieran el valor 1. Finalmente, la 273 es la suma de todos los valores de la máscara. Figura 3 Aproximación discreta a la función gaussiana con 1,0 Una vez que se ha calculado un núcleo adecuado, entonces el suavizado gaussiano se puede realizar utilizando métodos de convolución estándar. De hecho, la convolución se puede realizar con bastante rapidez, ya que la ecuación para el Gaussian 2-D isotrópico mostrada anteriormente es separable en componentes xey. Por lo tanto, la convolución 2-D se puede realizar convolucionando primero con un Gaussiano 1-D en la dirección x, y luego convolucionando con otro Gaussiano 1-D en la dirección y. (El Gaussiano es de hecho el único operador completamente circularmente simétrico que puede ser descompuesto de tal manera.) La Figura 4 muestra el núcleo componente 1-D que se usaría para producir el núcleo completo mostrado en la Figura 3 (después de escalar por 273 , Redondeando y truncando una fila de píxeles alrededor del límite, ya que en su mayoría tienen el valor 0. Esto reduce la matriz 7x7 a la 5x5 mostrada anteriormente.). El componente y es exactamente el mismo pero está orientado verticalmente. Figura 4 Uno de los pares de núcleos de convolución 1-D usados ​​para calcular el núcleo completo mostrado en la Figura 3 más rápidamente. Otra forma de calcular un suavizado gaussiano con una gran desviación estándar es convolver una imagen varias veces con un Gaussiano más pequeño. Aunque esto es compleja desde el punto de vista computacional, puede tener aplicabilidad si el procesamiento se lleva a cabo usando una tubería de hardware. El filtro Gaussiano no sólo tiene utilidad en aplicaciones de ingeniería. También está atrayendo la atención de los biólogos computacionales porque se ha atribuido con cierta cantidad de plausibilidad biológica, p. Algunas células en las vías visuales del cerebro a menudo tienen una respuesta aproximadamente gaussiana. Directrices para el uso El efecto de suavizado gaussiano es desenfocar una imagen, de manera similar al filtro medio. El grado de suavizado es determinado por la desviación estándar del Gaussiano. (Mayor desviación estándar Gaussianos, por supuesto, requieren núcleos de convolución más grandes para ser representados con precisión.) El gaussiano emite un promedio ponderado de cada barrio de píxeles, con el promedio ponderado más hacia el valor de los píxeles centrales. Esto contrasta con el promedio de los filtros de media ponderada uniformemente. Debido a esto, un Gaussiano proporciona suavizado más suave y conserva los bordes mejor que un filtro medio de tamaño similar. Una de las principales justificaciones para utilizar el Gaussiano como filtro de suavizado se debe a su respuesta en frecuencia. La mayoría de los filtros de suavizado basados ​​en convolución actúan como filtros de frecuencia de paso bajo. Esto significa que su efecto es eliminar componentes de alta frecuencia espacial de una imagen. La respuesta en frecuencia de un filtro de convolución, es decir, su efecto sobre diferentes frecuencias espaciales, se puede ver tomando la transformada de Fourier del filtro. La Figura 5 muestra las respuestas de frecuencia de un filtro 1-D medio con ancho 5 y también de un filtro gaussiano con 3 píxeles. El eje de frecuencia espacial está marcado en ciclos por píxel y, por lo tanto, ningún valor superior a 0,5 tiene un significado real. Ambos filtros atenúan frecuencias altas más que bajas frecuencias, pero el filtro medio exhibe oscilaciones en su respuesta de frecuencia. Por el contrario, el Gaussiano no muestra oscilaciones. De hecho, la forma de la curva de respuesta en frecuencia es en sí misma (medio a) gaussiana. Así que al elegir un filtro gaussiano de tamaño adecuado, podemos estar bastante seguros acerca de qué rango de frecuencias espaciales sigue presente en la imagen después del filtrado, lo que no es el caso del filtro medio. Esto tiene consecuencias para algunas técnicas de detección de bordes, como se menciona en la sección sobre cruces por cero. (El filtro gaussiano también resulta muy similar al filtro de suavizado óptimo para la detección de bordes bajo los criterios utilizados para derivar el detector de borde Canny) para ilustrar el efecto del alisado con filtros gaussianos sucesivamente mayores y grandes. Muestra el efecto del filtrado con un Gaussiano de 1,0 (y tamaño del núcleo 52155). Muestra el efecto de filtrado con un Gaussiano de 2,0 (y el tamaño del núcleo 92159). Muestra el efecto de filtrado con un gaussiano de 4,0 (y tamaño del núcleo 1521515). Ahora consideramos el uso del filtro gaussiano para la reducción del ruido. Por ejemplo, considere la imagen que ha sido dañada por el ruido gaussiano con una media de cero y 8. Alisando esto con un rendimiento de 52155 Gaussian (Compare este resultado con el alcanzado por los filtros medio y mediano.) El ruido de sal y pimienta es más desafiante Para un filtro gaussiano. Aquí vamos a suavizar la imagen que ha sido dañada por 1 ruido de sal y pimienta (es decir, bits individuales se han volteado con probabilidad 1). La imagen muestra el resultado del suavizado gaussiano (usando la misma convolución que anteriormente). Compare esto con el Aviso original de que gran parte del ruido sigue existiendo y que, aunque ha disminuido algo de magnitud, ha sido manchado en una región espacial más grande. El aumento de la desviación estándar continúa reduciendo / desdibujando la intensidad del ruido, pero también atenúa significativamente el detalle de alta frecuencia (por ejemplo, los bordes), como se muestra en Experimentación interactiva Puede experimentar interactivamente con este operador haciendo clic aquí. Ejercicios A partir del ruido gaussiano (media 0, 13) la imagen corrompida calcula tanto el filtro medio como el filtro gaussiano suavizado en varias escalas, y compara cada uno en términos de eliminación de ruido frente a pérdida de detalle. A cuántas desviaciones estándar de la media una caída gaussiana a 5 de su valor máximo. Sobre la base de esto se sugiere un tamaño de núcleo cuadrado adecuado para un filtro gaussiano con s. Estimación de la respuesta de frecuencia para un filtro gaussiano por suavizado gaussiano de una imagen, y tomando su transformada de Fourier antes y después. Compare esto con la respuesta de frecuencia de un filtro medio. ¿Cómo se compara el tiempo necesario para suavizar con un filtro gaussiano con el tiempo que se tarda en suavizar con un filtro medio para un núcleo del mismo tamaño? Obsérvese que en ambos casos la convolución puede acelerarse considerablemente explotando ciertas características del núcleo. Referencias E. Davies Visión de máquina: teoría, algoritmos y prácticas. Academic Press, 1990, pp 42 - 44. R. Gonzalez y R. Woods Digital Image Processing. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, pág. 191. R. Haralick y L. Shapiro Computer and Robot Vision. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, vol. 1, Cap. 7. B. Visión del robot del cuerno. MIT Press, 1986, Cap. 8. Visión de la máquina de D. Vernon. Prentice-Hall, 1991, pp 59-61, 214. Información local Puede encontrar información específica sobre este operador aquí. Más información general sobre la instalación local de HIPR está disponible en la sección introductoria de información local. Imágenes suaves La explicación a continuación pertenece al libro Computer Vision: Algorithms and Applications de Richard Szeliski y LearningOpenCV Smoothing. También llamado desenfoque. Es una operación de procesamiento de imágenes simple y frecuentemente utilizada. Hay muchas razones para suavizar. En este tutorial nos centraremos en el suavizado para reducir el ruido (otros usos se verán en los siguientes tutoriales). Para realizar una operación de suavizado aplicaremos un filtro a nuestra imagen. El tipo más común de filtros son lineales. En el que se determina un valor de píxel de salida 8217s (es decir) como una suma ponderada de valores de píxeles de entrada (es decir): ayuda a visualizar un filtro como una ventana de coeficientes que se deslizan a través de la imagen. Hay muchos tipos de filtros, aquí vamos a mencionar los más utilizados: Filtro de caja normalizado Este filtro es el más simple de todos Cada píxel de salida es la media de sus vecinos del núcleo (todos ellos contribuyen con pesos iguales) El núcleo está por debajo: Gaussian Filtro Probablemente el filtro más útil (aunque no el más rápido). El filtrado gaussiano se hace convolucionando cada punto de la matriz de entrada con un kernel gaussiano y luego sumando todos ellos para producir la matriz de salida. Sólo para hacer la imagen más clara, recuerda cómo un kernel 1D gaussiano parece Asumir que una imagen es 1D, se puede notar que el píxel situado en el medio tendría el mayor peso. El peso de sus vecinos disminuye a medida que aumenta la distancia espacial entre ellos y el píxel central. Recuerde que un Gaussiano 2D puede representarse como: Filtro Mediano El filtro mediano pasa por cada elemento de la señal (en este caso la imagen) y reemplaza cada píxel por la mediana de sus píxeles vecinos (ubicados en un barrio cuadrado alrededor del píxel evaluado ). Filtro Bilateral Hasta ahora, hemos explicado algunos filtros cuyo principal objetivo es suavizar una imagen de entrada. Sin embargo, a veces los filtros no sólo disuelven el ruido, sino que también afilan los bordes. Para evitar esto (al menos en cierta medida), podemos usar un filtro bilateral. De manera análoga al filtro de Gauss, el filtro bilateral también considera los píxeles vecinos con pesos asignados a cada uno de ellos. Estos pesos tienen dos componentes, el primero de los cuales es el mismo peso utilizado por el filtro de Gauss. El segundo componente tiene en cuenta la diferencia de intensidad entre los píxeles vecinos y el evaluado. Para una explicación más detallada puede comprobar este enlace Código ¿Qué hace este programa? Carga una imagen Aplica 4 tipos diferentes de filtros (explicados en Teoría) y muestra secuencialmente las imágenes filtradas Explicación Let8217 comprueba las funciones de OpenCV que implican sólo el procedimiento de suavizado, ya que El resto ya es conocido por ahora. Filtro de Bloqueo Normalizado: OpenCV ofrece la función de desenfoque para realizar el suavizado con este filtro. Especificamos 4 argumentos (más detalles, verifique la Referencia): src. Imagen de origen dst. Imagen de destino Tamaño (w, h). Define el tamaño del kernel que se va a utilizar (de ancho w píxeles y altura h píxeles) Punto (-1, -1). Indica dónde se encuentra el punto de anclaje (el píxel evaluado) con respecto al vecindario. Si hay un valor negativo, entonces el centro del núcleo es considerado el punto de anclaje. Se realiza con la función GaussianBlur: Aquí se usan 4 argumentos (más detalles, verifiquen la referencia de OpenCV): Documentación tsmovavg salida tsmovavg (tsobj, s, lag) devuelve la media móvil simple para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. Lag indica el número de puntos de datos anteriores utilizados con el punto de datos actual al calcular la media móvil. La salida tsmovavg (vector, s, lag, dim) devuelve el promedio móvil simple para un vector. Lag indica el número de puntos de datos anteriores utilizados con el punto de datos actual al calcular la media móvil. La salida tsmovavg (tsobj, e, timeperiod) devuelve la media móvil ponderada exponencial para la serie de tiempo financiero, tsobj. La media móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que timeperiod especifica el período de tiempo. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. Porcentaje exponencial 2 / (TIMEPER 1) o 2 / (WINDOWSIZE 1). La salida tsmovavg (vector, e, timeperiod, dim) devuelve la media móvil ponderada exponencial para un vector. La media móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que timeperiod especifica el período de tiempo. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. (2 / (intervalo de tiempo 1)). La salida tsmovavg (tsobj, t, numperiod) devuelve la media móvil triangular para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. La media móvil triangular dobla los datos. Tsmovavg calcula la primera media móvil simple con el ancho de la ventana de ceil (numperíodo 1) / 2. Luego calcula un segundo promedio móvil simple en el primer promedio móvil con el mismo tamaño de ventana. La salida tsmovavg (vector, t, numperiod, dim) devuelve el promedio móvil triangular de un vector. La media móvil triangular dobla los datos. Tsmovavg calcula la primera media móvil simple con el ancho de la ventana de ceil (numperíodo 1) / 2. Luego calcula un segundo promedio móvil simple en el primer promedio móvil con el mismo tamaño de ventana. La salida tsmovavg (tsobj, w, weights) devuelve la media móvil ponderada para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. Suministrando pesos para cada elemento en la ventana en movimiento. La longitud del vector de peso determina el tamaño de la ventana. Si se utilizan factores de peso mayores para precios más recientes y factores más pequeños para los precios anteriores, la tendencia es más sensible a los cambios recientes. La salida tsmovavg (vector, w, pesos, dim) devuelve la media móvil ponderada del vector suministrando pesos para cada elemento de la ventana en movimiento. La longitud del vector de peso determina el tamaño de la ventana. Si se utilizan factores de peso mayores para precios más recientes y factores más pequeños para los precios anteriores, la tendencia es más sensible a los cambios recientes. La salida tsmovavg (tsobj, m, numperiod) devuelve la media móvil modificada para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. La media móvil modificada es similar a la media móvil simple. Considere el argumento numperiod como el desfase de la media móvil simple. La primera media móvil modificada se calcula como una media móvil simple. Los valores subsiguientes se calculan sumando el nuevo precio y restando el último promedio de la suma resultante. La salida tsmovavg (vector, m, numperiod, dim) devuelve la media móvil modificada para el vector. La media móvil modificada es similar a la media móvil simple. Considere el argumento numperiod como el desfase de la media móvil simple. La primera media móvil modificada se calcula como una media móvil simple. Los valores subsiguientes se calculan sumando el nuevo precio y restando el último promedio de la suma resultante. Dim 8212 dimensión para operar a lo largo de entero positivo con valor 1 o 2 Dimensión para operar a lo largo, especificado como un entero positivo con un valor de 1 o 2. dim es un argumento de entrada opcional, y si no se incluye como una entrada, el valor predeterminado Se asume el valor 2. El valor predeterminado de dim 2 indica una matriz orientada a filas, donde cada fila es una variable y cada columna es una observación. Si dim 1. se supone que la entrada es un vector de columna o una matriz orientada a columnas, donde cada columna es una variable y cada fila una observación. E 8212 Indicador para el vector de caracteres de media móvil exponencial El promedio móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que el tiempo es el período de tiempo de la media móvil exponencial. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. Porcentaje exponencial 2 / (TIMEPER 1) o 2 / (WINDOWSIZE 1) período de tiempo 8212 Longitud del período de tiempo entero no negativo Seleccione su paísMoving Average Filter (MA filter) Loading. El filtro de media móvil es un simple filtro FIR de paso bajo (respuesta de impulso finito) comúnmente utilizado para suavizar una matriz de datos / señal muestreados. Se toman M muestras de entrada a la vez y tomar el promedio de esas M-muestras y produce un solo punto de salida. Se trata de una simple LPF (Low Pass Filter) estructura que viene práctico para los científicos y los ingenieros para filtrar el componente ruidoso no deseado de los datos previstos. A medida que aumenta la longitud del filtro (el parámetro M) aumenta la suavidad de la salida, mientras que las transiciones bruscas en los datos se hacen cada vez más contundentes. Esto implica que este filtro tiene excelente respuesta en el dominio del tiempo, pero una respuesta de frecuencia pobre. El filtro MA realiza tres funciones importantes: 1) toma M puntos de entrada, calcula el promedio de esos puntos M y produce un único punto de salida. 2) Debido al cálculo / cálculos involucrados. El filtro introduce una cantidad definida de retardo 3) El filtro actúa como un filtro de paso bajo (con una respuesta de dominio de frecuencia pobre y una buena respuesta de dominio de tiempo). Código Matlab: El siguiente código matlab simula la respuesta en el dominio del tiempo de un filtro M-point Moving Average y también traza la respuesta en frecuencia para varias longitudes de filtro. Respuesta de Dominio de Tiempo: En la primera trama, tenemos la entrada que va en el filtro de media móvil. La entrada es ruidosa y nuestro objetivo es reducir el ruido. La siguiente figura es la respuesta de salida de un filtro de media móvil de 3 puntos. Puede deducirse de la figura que el filtro de media móvil de 3 puntos no ha hecho mucho en filtrar el ruido. Aumentamos los grifos de filtro a 51 puntos y podemos ver que el ruido en la salida se ha reducido mucho, que se representa en la siguiente figura. Aumentamos los grifos más allá de 101 y 501 y podemos observar que aunque el ruido sea casi cero, las transiciones se atenuan drásticamente (observe la pendiente en cada lado de la señal y compárelas con la transición ideal de pared de ladrillo en Nuestra entrada). Respuesta de Frecuencia: A partir de la respuesta de frecuencia se puede afirmar que el roll-off es muy lento y la atenuación de banda de parada no es buena. Dada esta atenuación de banda de parada, claramente, el filtro de media móvil no puede separar una banda de frecuencias de otra. Como sabemos que un buen rendimiento en el dominio del tiempo da como resultado un rendimiento pobre en el dominio de la frecuencia, y viceversa. En resumen, el promedio móvil es un filtro de suavizado excepcionalmente bueno (la acción en el dominio del tiempo), pero un filtro de paso bajo excepcionalmente malo (la acción en el dominio de la frecuencia) Enlaces externos: Libros recomendados: Primary SidebarSmoothing En muchos experimentos en ciencia , Las amplitudes verdaderas de la señal (valores del eje y) cambian suavemente en función de los valores del eje x, mientras que muchos tipos de ruido se ven como cambios rápidos y aleatorios en la amplitud de punto a punto dentro de la señal. En esta última situación, puede ser útil en algunos casos intentar reducir el ruido mediante un proceso llamado suavizado. En el suavizado, los puntos de datos de una señal se modifican de manera que se reducen los puntos individuales que son más altos que los puntos inmediatamente adyacentes (presumiblemente debido al ruido) y los puntos que son más bajos que los puntos adyacentes se incrementan. Esto conduce naturalmente a una señal más lisa (y una respuesta más lenta del paso a los cambios de la señal). Mientras la señal subyacente verdadera sea realmente lisa, entonces la señal verdadera no será distorsionada mucho por suavizar, pero el ruido será reducido. En términos de los componentes de frecuencia de una señal, una operación de suavizado actúa como un filtro de paso bajo. Reduciendo los componentes de alta frecuencia y pasando los componentes de baja frecuencia con pocos cambios. Algoritmos de suavizado. La mayoría de los algoritmos de suavizado se basan en la técnica de cambio y multiplicación, en la que un grupo de puntos adyacentes en los datos originales se multiplican punto por punto por un conjunto de números (coeficientes) que definen la forma suave, los productos se suman y Dividido por la suma de los coeficientes, que se convierte en un punto de datos suavizados, entonces el conjunto de coeficientes se desplaza un punto por debajo de los datos originales y se repite el proceso. El algoritmo de suavizado más simple es el carrocería rectangular o la media deslizante no ponderada suave que simplemente reemplaza cada punto de la señal con la media de m puntos adyacentes, donde m es un entero positivo llamado el ancho liso. Por ejemplo, para un punto liso de 3 puntos (m 3): para j 2 a n-1, donde S j el j-ésimo punto en la señal suavizada, Y j el j-ésimo punto en la señal original, yn es el total Número de puntos en la señal. Pueden construirse operaciones lisas similares para cualquier anchura lisa deseada, m. Usualmente m es un número impar. Si el ruido en los datos es ruido blanco (es decir, distribuido uniformemente en todas las frecuencias) y su desviación estándar es s. Entonces la desviación estándar del ruido que queda en la señal después de la primera pasada de un liso promedio no deslizante no ponderado será aproximadamente s sobre la raíz cuadrada de m (s / sqrt (m)), donde m es el ancho liso. A pesar de su simplicidad, este suave es realmente óptimo para el problema común de reducir el ruido blanco, manteniendo la respuesta de paso más nítida. La respuesta a un cambio de escalón es de hecho lineal. Por lo que este filtro tiene la ventaja de responder completamente sin efecto residual con su tiempo de respuesta. Que es igual al ancho liso dividido por la tasa de muestreo. La lisa triangular es como la lisa rectangular, arriba, excepto que implementa una función de suavizado ponderada. Para un 5-punto liso (m 5): para j 3 a n-2, y similarmente para otras anchuras suaves (vea la hoja de cálculo UnitGainSmooths. xls). En ambos casos, el número entero en el denominador es la suma de los coeficientes en el numerador, lo que da como resultado una unidad de ganancia lisa que no tiene efecto sobre la señal cuando es una línea recta y que preserva el área bajo picos. A menudo es útil aplicar una operación de suavizado más de una vez, es decir, suavizar una señal ya suavizada, para construir láminas más largas y complicadas. Por ejemplo, el triangular de 5 puntos lisos arriba es equivalente a dos pasadas de un liso rectangular de 3 puntos. Tres pasadas de un resultado liso rectangular de 3 puntos en un pseudo-gaussiano de 7 puntos o un pajar liso, para el cual los coeficientes están en la proporción 1: 3: 6: 7: 6: 3: 1. La regla general es que n pasos de un w-smooth de ancho da lugar a un ancho liso combinado de n w - n 1. Por ejemplo, 3 pasos de un 17-punto liso da lugar a un 49-punto liso. Estos lisos de múltiples pasadas son más eficaces para reducir el ruido de alta frecuencia en la señal que un liso rectangular pero presentan una respuesta de paso más lenta. En todas estas suavidades, se elige la anchura del m liso para que sea un entero impar, de modo que los coeficientes lisos están equilibrados simétricamente alrededor del punto central, lo cual es importante porque preserva la posición del eje x de los picos y otras características en el señal. (Esto es especialmente crítico para aplicaciones analíticas y espectroscópicas porque las posiciones máximas son a menudo objetivos de medición importantes). Obsérvese que asumimos aquí que los intervalos del eje x de la señal son uniformes, es decir, que la diferencia entre los valores del eje x de los puntos adyacentes es la misma a lo largo de la señal. Esto también se asume en muchas de las otras técnicas de procesamiento de señal descritas en este ensayo, y es una característica muy común (pero no necesaria) de señales que son adquiridas por equipos automatizados y computarizados. El Savitzky-Golay liso se basa en el ajuste de cuadrados mínimos de polinomios a segmentos de los datos. El algoritmo se discute en www. wire. tu-bs. de/OLDWEB/mameyer/cmr/savgol. pdf. Comparado con las suavidades de media deslizante, el Savitzky-Golay liso es menos eficaz en la reducción del ruido, pero más eficaz en retener la forma de la señal original. Es capaz de diferenciación, así como suavizado. El algoritmo es más complejo y los tiempos computacionales son mayores que los tipos suaves discutidos anteriormente, pero con computadoras modernas la diferencia no es significativa y el código en varios idiomas está ampliamente disponible en línea. Consulte Comparación de suavizado. La forma de cualquier algoritmo de suavizado se puede determinar aplicando esa función suave a delta. Una señal que consiste en todos los ceros a excepción de un punto, como lo demuestra el simple script de Matlab / Octava DeltaTest. m. Reducción de ruido . Suavizado por lo general reduce el ruido en una señal. Si el ruido es blanco (es decir, uniformemente distribuido en todas las frecuencias) y su desviación estándar es s. Entonces la desviación estándar del ruido que queda en la señal después de una pasada de un liso rectangular será aproximadamente s / sqrt (m), donde m es el ancho liso. Si se utiliza una lisa triangular, el ruido será ligeramente menor, alrededor de 0,8 / sqrt (m). Las operaciones de suavizado se pueden aplicar más de una vez: es decir, una señal previamente suavizada se puede suavizar de nuevo. En algunos casos esto puede ser útil si hay una gran cantidad de ruido de alta frecuencia en la señal. Sin embargo, la reducción de ruido para el ruido blanco es menor en cada sucesivo suave. Por ejemplo, tres pasadas de un liso rectangular reducen el ruido blanco por un factor de aproximadamente 0,7 / sqrt (m), sólo una ligera mejoría en dos pasadas. La distribución de frecuencia del ruido, designada por el color de ruido. Afecta sustancialmente la capacidad de suavizado para reducir el ruido. La función Matlab / Octave NoiseColorTest. m compara el efecto de un vehículo frigorífico de 100 puntos (promedio deslizante no ponderado) sobre la desviación estándar del ruido blanco, rosa y azul, todos los cuales tienen una desviación estándar sin pulir original de 1,0. Como el suavizado es un proceso de filtro de paso bajo, produce menos ruido de baja frecuencia (rosa) y ruido de alta frecuencia (azul) más que el ruido blanco. Efectos finales y el problema de los puntos perdidos. Obsérvese en las ecuaciones anteriores que el punto 3 rectangular liso está definido sólo para j 2 a n-1. No hay suficientes datos en la señal para definir un liso completo de 3 puntos para el primer punto de la señal (j 1) o para el último punto (j n). Porque no hay puntos de datos antes del primer punto o después del último punto. (Del mismo modo, un 5-punto suave se define sólo para j 3 a n-2, y por lo tanto un suave no se puede calcular para los dos primeros puntos o para los dos últimos puntos). En general, para una m-anchura lisa, habrá (m -1) / 2 puntos al principio de la señal y (m -1) / 2 puntos al final de la señal para los cuales una m completa - width lisa No se puede calcular. Qué hacer Hay dos enfoques. Una es aceptar la pérdida de puntos y recortar esos puntos o reemplazarlos con ceros en la señal suave. (Ese es el enfoque adoptado en la mayoría de las figuras en este documento). El otro enfoque consiste en utilizar lisos progresivamente más pequeños en los extremos de la señal, por ejemplo para usar 2, 3, 5, 7. puntos lisos para los puntos de señal 1, 2, 3 y 4. y para los puntos n, n-1 , N - 2, n - 3. respectivamente. La aproximación posterior puede ser preferible si los bordes de la señal contienen información crítica, pero aumenta el tiempo de ejecución. La función fastsmooth descrita a continuación puede utilizar cualquiera de estos dos métodos. Ejemplos de suavizado. Un ejemplo simple de suavizado se muestra en la Figura 4. La mitad izquierda de esta señal es un pico ruidoso. La mitad derecha es el mismo pico después de someterse a un algoritmo de suavizado triangular. El ruido se reduce considerablemente mientras que el pico en sí mismo apenas cambia. El suavizado aumenta la relación señal-ruido y permite que las características de la señal (posición de pico, altura, anchura, área, etc.) se midan con mayor precisión mediante inspección visual. Figura 4. La mitad izquierda de esta señal es un pico ruidoso. La mitad derecha es el mismo pico después de someterse a un algoritmo de suavizado. El ruido se reduce considerablemente, mientras que el pico en sí mismo apenas cambia, lo que facilita la medición de la posición del pico, la altura y el ancho directamente por estimación gráfica o visual (pero no mejora las mediciones hechas por los métodos de mínimos cuadrados ver más abajo). Cuanto mayor sea el ancho liso, mayor será la reducción del ruido, pero también mayor será la posibilidad de que la señal sea distorsionada por la operación de suavizado. La elección óptima del ancho liso depende de la anchura y forma de la señal y del intervalo de digitalización. Para señales de tipo pico, el factor crítico es la relación de suavizado. La relación entre la anchura l suave y el número de puntos en la media anchura del pico. En general, el aumento de la relación de suavizado mejora la relación señal-ruido, pero provoca una reducción de la amplitud y un aumento en el ancho de banda del pico. Las figuras anteriores muestran ejemplos del efecto de tres anchos lisos diferentes sobre picos ruidosos de forma gaussiana. En la figura de la izquierda, el pico tiene una (verdadera) altura de 2,0 y hay 80 puntos en la media anchura del pico. La línea roja es el pico sin pulir original. Las tres líneas verdes superpuestas son el resultado de suavizar este pico con una anchura triangular (de arriba a abajo) de 7, 25 y 51 puntos. Debido a que la anchura del pico es de 80 puntos, las relaciones lisas de estos tres lisos son 7/80 0,09, 25/80 0,31 y 51/80 0,64, respectivamente. A medida que aumenta la anchura suave, el ruido se reduce progresivamente, pero la altura del pico también se reduce ligeramente. Para el mayor liso, el ancho del pico se incrementa ligeramente. En la figura de la derecha, el pico original (en rojo) tiene una altura real de 1,0 y un ancho medio de 33 puntos. (También es menos ruidoso que el ejemplo de la izquierda.) Las tres líneas verdes superpuestas son los resultados de las mismas tres lisas triangulares de ancho (de arriba a abajo) 7, 25 y 51 puntos. Pero como el ancho de pico en este caso es de sólo 33 puntos, las relaciones lisas de estos tres lisos son mayores - 0,21, 0,76 y 1,55, respectivamente. Se puede ver que el efecto de distorsión de pico (reducción de la altura del pico y aumento del ancho del pico) es mayor para el pico más estrecho porque las relaciones lisas son más altas. Razones suaves de más de 1,0 se utilizan raramente debido a la distorsión de pico excesiva.